Mỗi phần tử của một ma trận thường được ký kết hiệu bởi một thay đổi cùng với hai chỉ số sống dưới. lấy một ví dụ, a2,1 màn trình diễn thành phần nghỉ ngơi sản phẩm sản phẩm nhị cùng cột thứ nhất của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Quý khách hàng đã xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học tập, ma trận là 1 trong những mảng chữ nhật<1>—các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, bố trí theo mặt hàng cùng cột<2><3>—nhưng mà từng ma trận tuân theo hầu như luật lệ định trước. Từng ô trong ma trận được Gọi là các bộ phận hoặc mục. lấy ví dụ như một ma trận bao gồm 2 hàng và 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}


*

Khi các ma trận bao gồm cùng kích cỡ (bọn chúng bao gồm cùng số sản phẩm cùng thuộc số cột), thì có thể tiến hành phép cùng hoặc trừ nhì ma trận trên những phần tử tương xứng của bọn chúng. Dù thế, phép tắc áp dụng có thể chấp nhận được nhân ma trận chỉ rất có thể triển khai được Khi ma trận thứ nhất tất cả số cột bằng số sản phẩm của ma trận lắp thêm nhì. Ứng dụng bao gồm của ma trận đó là phnghiền màn trình diễn các biến hóa tuyến đường tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính nlỗi f(x) = 4x . lấy ví dụ, phép con quay những vectơ trong không khí bố chiều là 1 trong phép biến đổi tuyến tính mà rất có thể màn biểu diễn bởi một ma trận quay R: nếu như v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) diễn đạt địa chỉ của một điểm trong không gian, tích của Rv là 1 trong những vec tơ cột biểu đạt địa điểm của điểm này sau phxay tảo này. Tích của nhì ma trận biến hóa là 1 trong ma trận trình diễn vừa lòng của hai phép thay đổi đường tính. Một áp dụng không giống của ma trận sẽ là tìm nghiệm của các hệ pmùi hương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, rất có thể chiếm được một số trong những đặc điểm của nó bằng phương pháp tính định thức của nó. lấy ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch ví như và chỉ ví như định thức của chính nó không giống không. Quan niệm hình học tập của một phxay thay đổi tuyến đường tính là nhận ra (cùng rất đông đảo biết tin khác) từ bỏ trị riêng biệt và vec tơ riêng rẽ của ma trận.

cũng có thể thấy ứng dụng của lý thuyết ma trận trong đa số những nghành nghề dịch vụ công nghệ. Trong từng nhánh của trang bị lý học tập, bao gồm cơ học truyền thống, quang học, điện trường đoản cú học, cơ học lượng tử, với điện cồn lực học lượng tử, chúng được thực hiện để nghiên cứu những hiện tượng kỳ lạ vật lý, nhỏng hoạt động của vật dụng rắn. Trong hình ảnh laptop, ma trận được áp dụng để chiếu một ảnh 3D lên màn hình hiển thị 2D. Trong triết lý tỷ lệ cùng những thống kê, những ma trận tự nhiên được thực hiện để diễn đạt tập hòa hợp các xác suất; ví dụ, chúng cần sử dụng trong thuật tân oán PageRank nhằm xếp thứ hạng những trang trong lệnh search kiếm của Google.<4> Phxay tính ma trận tổng thể hóa các tư tưởng trong giải tích nlỗi đạo hàm cùng hàm mũ so với số chiều to hơn.

Một nhánh chủ yếu của giải tích số dành để trở nên tân tiến các thuật tân oán có ích cho các tính toán thù ma trận, một chủ thể sẽ hàng trăm ngàn năm tuổi cùng là một trong những nghành nghề dịch vụ phân tích rộng lớn ngày này. Phương pháp knhì triển ma trận làm dễ dàng và đơn giản hóa những tính toán thù lẫn cả về phương diện lý thuyết lẫn thực hành thực tế. Những thuật tân oán dựa trên hồ hết cấu tạo của các ma trận quan trọng đặc biệt, như ma trận thưa (sparse) và ma trận gần chéo, góp xử lý phần nhiều tính toán vào phương pháp thành phần hữu hạn và đầy đủ tính tân oán không giống. Ma trận vô hạn lộ diện trong cơ học tập thiên thể với triết lý nguyên tử. Một ví dụ dễ dàng về ma trận vô hạn là ma trận trình diễn những tân oán tử đạo hàm, cơ mà công dụng cho chuỗi Taylor của một hàm số.

1 Định nghĩa 1.1 Độ Khủng 2 Lịch sử 3 Ký hiệu 4 Các phxay tân oán cơ phiên bản 4.1 Phxay cùng, nhân một số cùng với ma trận, và ma trận chuyển vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phnghiền toán thù hàng 4.4 Ma trận bé 5 Phương trình đường tính 6 Biến đổi con đường tính 7 Ma trận vuông 7.1 Các nhiều loại ma trận đặc trưng 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch cùng nghịch đảo của chính nó 7.1.5 Ma trận xác định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Các tính toán thù đa phần 7.2.1 Vết 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch đảo 7.2.4 Vectơ riêng cùng trị riêng rẽ 8 Khía cạnh tính toán 9 Phân tích ma trận 10 Khía cạnh đại số trừu tượng cùng bao quát hóa 10.1 Ma trận với những phần tử mở rộng 10.2 Mối contact cùng với ánh xạ tuyến đường tính 10.3 Nhóm ma trận 10.4 Ma trận rỗng 11 Ứng dụng 11.1 Lý thuyết trang bị thị 11.2 Giải tích với hình học 11.3 Lý tmáu Phần Trăm cùng thống kê lại 11.4 Đối xứng và những biến hóa trong đồ gia dụng lý học 11.5 Tổ vừa lòng tuyến tính của các tâm lý lượng tử 11.6 Dao đụng riêng biệt 11.7 Quang hình học 11.8 Điện tử học 12 Tsi khảo 13 Tmê mệt khảo 13.1 Tsi mê khảo về vật lý 13.2 Tsi mê khảo về lịch sử 14 Liên kết không tính

Định nghĩa

Ma trận là 1 mảng chữ nhật cất những số hoặc các đối tượng người dùng toán thù học tập không giống, nhưng mà rất có thể quan niệm một trong những phép toán như cùng hoặc nhân trên các ma trận.<5> Hay gặp duy nhất sẽ là ma trận bên trên một ngôi trường F là 1 trong những mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cập tới các ma trận thực và phức, tức là các ma trận mà lại những bộ phận của nó là phần lớn số thực hoặc số phức. Những nhiều loại ma trận tổng quát rộng được trao đổi sinh hoạt bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6đôi mươi,4&5,59,7&-6,2end}.}



Các số, ký hiệu tuyệt biểu thức vào ma trận được Call là các thành phần của nó. Các đường theo pmùi hương ngang hoặc phương dọc cất những thành phần trong ma trận được điện thoại tư vấn tương xứng là mặt hàng cùng cột.

Độ bự

Độ mập xuất xắc cỡ của ma trận được định nghĩa bằng con số mặt hàng cùng cột nhưng mà ma trận tất cả. Một ma trận m mặt hàng cùng n cột được Gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong những khi m với n được Điện thoại tư vấn là chiều của nó. lấy một ví dụ, ma trận A nghỉ ngơi bên trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ bao gồm một sản phẩm Hotline là vectơ mặt hàng, cùng những ma trận chỉ có một cột Hotline là vectơ cột. Ma trận bao gồm thuộc số mặt hàng cùng số cột được Điện thoại tư vấn là ma trận vuông. Ma trận tất cả vô hạn số sản phẩm hoặc số cột (hoặc cả hai) được hotline là ma trận vô hạn. Trong một trong những ngôi trường thích hợp, nlỗi chương trình đại số máy vi tính, đã hữu dụng Khi xét một ma trận mà không tồn tại sản phẩm hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận trống rỗng.

Tên Call Độ phệ lấy một ví dụ Miêu tả Vectơ hàng 1 × n 3&7&2end}}




Ma trận tất cả một cột, thỉnh thoảng được dùng để làm trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}



Ma trận gồm thuộc số mặt hàng cùng số cột, nó được áp dụng nhằm trình diễn phnghiền biến đổi con đường tính xuất phát từ 1 không gian vec tơ vào bao gồm nó, như phnghiền bức xạ, phnghiền xoay hoặc ánh xạ cắt.

Lịch sử

Ma trận có một lịch sử dân tộc nhiều năm về ứng dụng trong giải các phương trình đường tính nhưng lại bọn chúng được nghe biết là những mảng cho đến tận trong những năm 1800. Cuốn nắn sách Cửu cmùi hương tân oán thuật viết vào tầm năm 152 Tcông nhân giới thiệu phương trận nhằm giải hệ năm pmùi hương trình tuyến đường tính,<8> bao hàm tư tưởng về định thức. Năm 1545 công ty toán học tập bạn Ý Girolamo Cardano ra mắt cách thức giải này vào châu Âu lúc ông chào làng quyển Ars Magmãng cầu.<9> Nhà tân oán học tập Japan Seki vẫn thực hiện cách thức mảng này để giải hệ phương thơm trình vào năm 1683.<10> Nhà toán thù học tập Hà Lan Jan de Witt lần thứ nhất màn biểu diễn các chuyển đổi bên dưới dạng ma trận mảng trong cuốn nắn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> Giữa các năm 1700 với 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương thức thực hiện các mảng để khắc ghi lên tiếng xuất xắc kiếm tìm nghiệm cùng nghiên cứu trên 50 một số loại ma trận khác biệt.

Xem thêm: Slayer Là Gì - Slayer Nghĩa Là Gì Trong Tiếng Việt

<9> Cramer giới thiệu phép tắc của ông vào khoảng thời gian 1750.

Thuật ngữ vào giờ đồng hồ Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất từ mater—mẹ<12>) bởi vì James Joseph Sylvester nêu ra vào thời điểm năm 1850,<13> lúc ông nhận biết rằng ma trận là một trong đối tượng người sử dụng có tác dụng mở ra một vài định thức cơ mà thời nay điện thoại tư vấn là phần phụ đại số, Tức là định thức của các ma trận nhỏ tuổi hơn chiếm được trường đoản cú ma trận ban sơ bằng cách xóa đi những hàng với các cột. Trong một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đang định nghĩa trong bài xích báo trước về “Ma trận” là 1 trong mảng chữ nhật cất những bộ phận, mà lại mọi định thức không giống nhau rất có thể giới thiệu định thức của ma trận chị em.<14>

Arthur Cayley đăng một chăm luận về các phnghiền thay đổi hình học sử dụng ma trận ngoài ra phxay biến hóa tảo đã được khảo sát trước kia. Ttốt vào đó, ông định nghĩa các phép toán thù nlỗi cộng, trừ, nhân cùng phân chia những ma trận này với chứng minh những quy tắc phối hợp với phân phối vẫn được vừa lòng. Cayley vẫn phân tích và dẫn chứng tính chất ko giao hân oán của phnghiền nhân ma trận cũng giống như tính giao hân oán của phxay cộng ma trận.<9> Lý ttiết ma trận sơ khai bị số lượng giới hạn ngơi nghỉ phương pháp áp dụng các mảng với tính định thức và các phép toán thù ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã tạo nên sự cuộc cách mạng đến lý thuyết này. Ông áp dụng định nghĩa ma trận mang đến hệ phương thơm trình tuyến đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi cam kết về kim chỉ nan ma trận<15><16> trong các số ấy ông nêu ra và chứng tỏ định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà toán thù học fan Anh Cullis là người đầu tiên thực hiện ký kết hiệu ngoặc văn minh mang đến ma trận vào thời điểm năm 1913 với ông cũng viết ra cam kết hiệu đặc biệt quan trọng A = nhằm biểu diễn một ma trận cùng với ai,j là bộ phận nghỉ ngơi sản phẩm lắp thêm i với cột trang bị j.<9>

Quá trình phân tích định thức xuất phát điểm từ một số mối cung cấp khác biệt.<17> Các bài bác toán thù số học tập dẫn Gauss đi tới tương tác những thông số của dạng toàn pmùi hương, phần đông đa thức gồm dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ con đường tính trong không gian bố chiều với ma trận. Eisenstein đang cách tân và phát triển xa rộng những tư tưởng này, với nhấn xét Theo phong cách phân phát biểu thị đại rằng tích ma trận là ko giao hân oán. Cauchy là tín đồ thứ nhất chứng minh hồ hết mệnh đề tổng quát về định thức, lúc ông thực hiện định nghĩa nlỗi sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy vượt ajk bởi ajk vào nhiều thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i
cùng với Π ký hiệu tích những hệ số đứng ẩn dưới. Ông cũng minh chứng vào khoảng thời gian 1829 rằng cực hiếm riêng rẽ của các ma trận đối xứng là thực.

Xem thêm: enter network credentials windows 10 là gì

<18> Jacobi nghiên cứu và phân tích “định thức hàm”—mà sau đây biến định thức Jacobi nlỗi phương pháp Gọi của Sylvester—nó được ứng dụng nhằm phân tích các biến đổi hình học tập ở mức tổng thể (xuất xắc vô cùng bé); bài báo Vorlesungene über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> với Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả hai các được ra mắt vào khoảng thời gian 1903, lần đầu tiên sẽ coi định thức theo cách định đề hóa, ngược trở lại đối với giải pháp tiếp cận cụ thể ở số đông lần trước đó nhỏng vào bí quyết của Cauchy.

hầu hết định lý ban sơ chỉ tuyên bố cho các ma trận nhỏ tuổi, ví nlỗi định lý Cayley–Hamilton được chứng minh đến ma trận 2×2 nhỏng Cayley đã cho thấy trong luận án của mình, với vị Hamilton đến ma trận 4×4. Frobenius, dựa vào các dạng tuy nhiên tuyến tính, vẫn tổng quát định lý lịch sự đông đảo size (1898). Cũng vào thời điểm cuối thế kỷ 19 phương pháp khủ Gauss–Jordan (bao quát hóa cho ngôi trường vừa lòng đặc biệt đó là phnghiền khử Gauss) vì bên trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong đầu thế kỷ đôi mươi, ma trận đã đạt tới mức phương châm trung vai trung phong vào đại số đường tính,<21> 1 phần nhờ ứng dụng của chính nó trong phân nhiều loại khối hệ thống số hết sức phức trong cầm kỷ trước.

Sự khởi đầu của cơ học ma trận bởi các công ty đồ lý Heisenberg, Born cùng Jordan nêu ra đã mang đến nghiên cứu về ma trận tất cả vô hạn mặt hàng với cột.<22> Later, von Neumann đã tùy chỉnh cấu hình lên tuyên bố toán học tập của cơ học lượng tử, bằng cách cách tân và phát triển xa hơn những quan niệm của giải tích hàm nhỏng toán thù tử con đường tính trong không khí Hilbert, cơ mà, nói sơ sài, khớp ứng cùng với không khí Euclide, cơ mà tất cả vô hạn hướng hòa bình.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}


Chuyên mục: Blog